sistema indeterminístico Graceli ; SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL

 

 

sistema indeterminístico Graceli ; SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL

setembro 22, 2021

sistema indeterminístico Graceli ; SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL

setembro 20, 2021

 sistema indeterminístico Graceli ;

SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL = sdctie graceli, sistema de infinitas dimensões +

SISTEMA DE TENSOR G+ GRACELI , ESTADOS FÍSICOS -QUÍMICO-FENOMÊNICO DE GRACELI CATEGORIAS E Configuração eletrônica dos elementos químicos

SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL.

 SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL.

COM  ELEMENTOS DO SISTEMA SDCTIE GRACELI, TENSOR G+ GRACELI CAMPOS E ENERGIA, E ENERGIA, E CONFIGURAÇÕES ELETRÔNICAS DOS ELEMENTOS QUÍMICO, E OUTRAS ESTRUTURAS.

ESTADO E NÚMERO QUÂNTICO, NÍVEIS DE ENERGIA DO ÁTOMO, FREQUÊNCIA. E OUTROS.

  TENSOR G+ GRACELI, SDCTIE GRACELI, DENSIDADE DE CARGA E DISTRIBUIÇÃO ELETRÔNICA, NÍVEIS DE ENERGIA, NÚMERO E ESTADO QUÂNTICO. + POTENCIAL DE SALTO QUÂNTICO RELATIVO AOS ELEMENTOS QUÍMICO COM O SEU RESPECTIVO  E ESPECÍFICO NÍVEL DE ENERGIA.

SISTEMA MULTIDIMENSIONAL  GRACELI

ONDE A CONFIGURAÇÃO ELETRÔNICA TAMBÉM PASSA A SER DIMENSÕES FÍSICO-QUÍMICA DE GRACELI.

Configuração eletrônica dos elementos químicos. [parte do sistema Graceli infinito-dimensional].

DENTRO DE UMA CONCEPÇÃO QUE CADA ÁTOMO É FORMADO DE INFINITAs OUTRAS PARTÍCULAS, E COM INFINITAS OUTRAS ENERGIAS, INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES, E OUTROS FENÔMENOS, LOGO SE TEM EM CADA ÁTOMO E OU ELEMENTO QUÍMICO INFINITAS OUTRAS DIMENSÕES. COM INFINITAS VARIAÇÕES NAS CATEGORIAS DE GRACELI , QUE  SÃO: OS POTENCIAIS, TIPOS, NÍVEIS, E TEMPO DE AÇÃO ESPECÍFICO  DO FENÔMENO.

ONDE NOS SISTEMAS  DE GRACELI CATEGORIAS,  FENÔMENOS, ESTADOS, ENERGIAS, ESTRUTURAS, E OUTROS SÃO TIPOS E FORMAS DE DIMENSÕES..

FLUXOS ALEATÓRIOS DE ENERGIAS ELÉTRICA,  E FLUXOS DE SALTOS QUÂNTICOS INFINITESIMAIS E INDETERMINADOS.

SENDO QUE VARIAM CONFORME O SISTEMA INFINITO-DIMENSIONAL GRACELI.

A interpretação de Bohm ou teoria de de Broglie-Bohm da mecânica quântica, também conhecida como teoria da onda piloto, mecânica bohmiana e interpretação causal, generaliza a teoria da onda piloto de Louis de Broglie de 1927, a qual apresenta que ambos, onda e partícula, são reais. David Bohm, aluno de Robert Oppenheimer e contemporâneo de Albert Einstein em Princeton, após publicar Teoria Quântica, elogiada por Einstein como a mais clara explicação que lera sobre o tema, reinterpretou a física quântica de forma divergente da interpretação de Copenhague.

Segundo a interpretação de Bohm, a função de onda evolui de acordo com a equação de Schrödinger, que de algum modo "guia" a partícula. Isto assumindo um universo simples e determinístico, e não dividido (diferindo da interpretação de Copenhague e da interpretação de muitos mundos). A teoria é explicitamente não local. Isto quer dizer que o estado do universo evolui suavemente através do tempo, sem o colapso da função de onda quando uma medição ocorre, como na interpretação de Copenhague. Contudo, deve-se assumir a existência de um grande número de variáveis ocultas, as quais nunca poderiam ser diretamente mensuradas.

• 11Ligações externas

Equação de Schroedinger

Inicialmente, Bohm dividiu a equação de Schrödinger em duas partes. A primeira era uma recapitulação da física newtoniana clássica, e a segunda um campo informativo semelhante a ondas. A equação de Schrödinger descreve como o estado quântico de um sistema físico muda com o tempo. Esta equação pode descrever sistemas moleculares, atômicos e subatômicos, como também sistemas macroscópicos.^[1]

Contrariamente a Niels Bohr (complementaridade onda-partícula) e à escola de Copenhague, Bohm postulou que o elétron se comporta como uma partícula clássica comum, mas tendo acesso a informação sobre o resto do universo. Bohm denominou o segundo termo de potencial quântico, um campo informativo funcional que fornece ao elétron informações sobre o resto do universo físico. Demonstrou que a influência desse potencial quântico dependia apenas da forma, e não da magnitude desse tipo de função de onda, sendo portanto, independente da separação no espaço: todo ponto no espaço contribui com informação para o elétron.

Esta explicação para o comportamento do elétron tem relação com o conceito de holomovimento e com as ordens implícita e explícita que o compõem.

Fundamentação matemática

Na equação de Schrödinger

${\displaystyle {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}}$,

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onde a função de onda ψ(r,t) é uma função complexa da posição r e tempo t, a densidade probabilidade ρ(r,t) é uma função real definida por

${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=R(\mathbf {r} ,t)^{2}=|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}=\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)}$.

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Sem perda de generalidade, podemos expressar a função de onda ψ em termos da densidade de probabilidade real ρ = |ψ|² e uma função de fase da variável real S que são ambas também funções de posição e tempo:

${\displaystyle \psi ={\sqrt {\rho }}e^{iS/\hbar }}$.

Quando fazemos isto, a equação de Schrödinger separa-se em duas equações,

${\displaystyle -{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=\nabla \cdot \left(\rho {\frac {\nabla S}{m}}\right)\qquad (1)}$

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${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}=V+{\frac {1}{2m}}(\nabla S)^{2}+Q\qquad (2)}$

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com

${\displaystyle Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R}{R}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\nabla ^{2}\rho }{2\rho }}-\left({\frac {\nabla \rho }{2\rho }}\right)^{2}\right)}$.

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Se identificarmos o momento como ${\displaystyle \mathbf {p} =\nabla S}$ e a energia como ${\displaystyle E=-\partial S/\partial t}$, então (1) é simplesmente a equação de continuidade tendo a probabilidade de

${\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {v} =\rho {\frac {\mathbf {p} }{m}}=\rho {\frac {\nabla S}{m}}}$,

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e (2) estabelece que energia total é a soma da energia potencial, energia cinética, e um termo adicional Q, que pode ser chamado de potencial quântico. Não é por acaso que S possua a unidade e típico nome variável de ação.

A partícula é vista como tendo uma posição definida, com uma distribuição de probabilidade ρ que pode ser calculada da função de onda ψ. A função de onda "guia" a partícula por meio do potencial quântico Q. Muito deste formalismo foi desenvolvido por Louis de Broglie. Bohm estendeu o caso de uma simples partícula para a o de várias partículas e reinterpretou as equações. Elas também foram estendias para incluir o spin, embora a extensão para condições relativísticas não tenha sido bem sucedida.

Experimento da dupla fenda

Trajetórias de Bohm para elétrons passando pelo experimento de dupla fenda. Um padrão semelhante também foi observado a partir de medição fraca de fótons individuais.^[2]

O experimento da dupla fenda é uma ilustração da dualidade onda-partícula. Nele, um feixe de partículas (como elétrons) viaja através de uma barreira que tem duas fendas. Se alguém colocar uma tela de detecção além da barreira, o padrão de partículas detectadas mostra franjas de interferência características das ondas que chegam à tela de duas fontes (as duas fendas); no entanto, o padrão de interferência é composto de pontos individuais correspondentes às partículas que chegaram na tela. O sistema parece exibir o comportamento de ambas, as ondas (padrões de interferência) e partículas (pontos na tela).^[3]

Se modificarmos essa experiência para que uma fenda seja fechada, nenhum padrão de interferência será observado. Assim, o estado de ambas as fendas afeta os resultados finais. Também podemos organizar um detector minimamente invasivo em uma das fendas para detectar qual fenda a partícula passou. Quando fazemos isso, o padrão de interferência desaparece.

A interpretação de Copenhague afirma que as partículas não estão localizadas no espaço até que sejam detectadas, de modo que, se não houver nenhum detector nas fendas, não há informações sobre qual fenda a partícula passou. Se uma fenda tiver um detector, a função de onda entra em colapso devido a essa detecção

Na teoria de Broglie-Bohm, a função de onda é definida em ambas as fendas, mas cada partícula tem uma trajetória bem definida que passa exatamente por uma das fendas. A posição final da partícula na tela do detector e a fenda através da qual a partícula passa é determinada pela posição inicial da partícula. Tal posição inicial não é cognoscível ou controlável pelo experimentador, portanto há uma aparência de aleatoriedade no padrão de detecção. Nos trabalhos de 1952 de Bohm,^[4] ele usou a função de onda para construir um potencial quântico que, quando incluído nas equações de Newton, forneceu as trajetórias das partículas que fluíam pelas duas fendas. Com efeito, a função de onda interfere consigo mesma e guia as partículas pelo potencial quântico de tal forma que as partículas evitam as regiões nas quais a interferência é destrutiva e são atraídas para as regiões nas quais a interferência é construtiva, resultando no padrão de interferência na tela do detector.

Comentários

A interpretação de Bohm não é muito popular entre os físicos por inúmeras razões científicas e sociológicas que poderiam fazer parte de um fascinante porém longo estudo, mas podemos ao menos dizer onde é considerada menos elegante por alguns (ela foi considerada como "superestrutura desnecessária" mesmo por Einstein que sonhava com um substituto determinístico para a interpretação de Copenhague).

Presumivelmente a Einstein, e outros, não agradavam a não-localidade da maioria das interpretações da mecânica quântica, como ele tentou mostrar sua incompletude no Paradoxo EPR. A teoria de Bohm é de forma inevitável não-local, o que no passado seria um golpe contra ela; mas isto mudou nos últimos tempos, pois a não-localidade vem se tornando mais convincente devido a verificação experimental da Desigualdade de Bell.^[5] Porém, a teoria vem sendo usada por outros como base de inúmeros livros tais como Dancing Wu-li Masters ^[6], o qual tem por objetivo ligar a física moderna a religiões orientais. Isto, como também os vários amigos filósofos de Bohm, como J. Krishnamurti, devem ter levado alguns mais a desconsiderá-la.

A interpretação de Bohm versus Copenhague (ou quase Copenhague como definida por Von Neumann e Dirac) são diferentes em pontos cruciais: ontologia versus epistemologia; potencial quântico ou informação ativa versus a usual partícula-onda e ondas de probabilidades; não-localidade versus localidade (deve-se notar que a mecânica quântica padrão é também não-local, veja o paradoxo EPR); completude versus abordagem segmentária normal.

Em seu livro póstumo The Undivided Universe (O universo não dividido) ^[7], Bohm (com Hiley, e, certamente, em inúmeros outros artigos)^[8] apresentou uma elegante e completa descrição do mundo físico. Esta descrição é em muitos aspectos satisfatória, ao menos para Bohm e Hiley. De acordo com a interpretação de Copenhague, há uma esfera de realidade clássica, para objetos grandes e grandes números quânticos, e uma esfera quântica separada. Não há um único fragmento da teoria quântica na descrição do "mundo clássico" – diferentemente da situação encontrada na versão da mecânica quântica de Bohm. Estas diferenças afetam tão pouco nos resultados dos testes experimentais que não existe consenso se a interpretação de Copenhague, ou outra, poderá ser provada como inadequada; ou os resultados são tão vagos para serem interpretados de forma não ambígua. Os artigos em questão são listados no final desta página, cujo principal assunto são os efeitos quânticos, como predito por Bohm, observados no mundo clássico – algumas vezes de forma impensável na versão dominante da interpretação de Copenhague.

A interpretação Bohmiana da Mecânica Quântica é caracterizada pelos seguintes aspectos:

• É baseada nos conceitos da não-localidade, potencial quântico e informação ativa. Por um lado, deve-se mencionar que a abordagem Bohmiana não é nova em relação a seu formalismo matemático, mas uma reinterpretarão da abordagem usual da equação de Schrödinger (a qual sob certas aproximações é a mesma clássica equação Hamilton-Jacobi), a qual simplesmente, no processo de cálculo, adicionou-se um termo que foi interpretado por Bohm como um potencial quântico e desenvolvido como uma nova visão da mecânica quântica. Então, a interpretação de Bohm não tem (como poderia sugerir o livro The Undivided Universe) a originalidade do formalismo matemático (que é função de uma forma central, e a equação de Schrodinger aplicada a ela) – mas uma interpretação que nega características centrais da mecânica quântica: não existência do dualismo partícula-onda (o elétron é uma partícula real guiada por um campo potencial quântico real); não utilização da abordagem epistemológica (ressalta-se a realidade quântica e a abordagem ontológica).

• Talvez a parte mais interessante a respeito da abordagem de Bohm é o formalismo: ele dá uma nova versão para o microcosmo, não somente nova, mas radical. Descreve um mundo onde conceitos como a causalidade, posição e trajetória têm um significado físico concreto. Colocando de lado as possíveis objeções com respeito a não-localidade, o possível triunfo da visão de Bohm (por exemplo, não necessitar de nada parecido com princípio da complementaridade) - deixa-nos com uma impressão de que Bohm talvez ofereça um novo paradigma e uma absolutamente arrojada versão reformulada da uma antiga e estabelecida mecânica quântica.

• Bohm enfatizou que experimento e experiência englobam um todo indivisível. Não há separação deste todo indivisível. O potencial quântico Q não assume o valor zero no infinito.

Críticas

Os principais pontos de críticas, juntamente com as respostas dos que advogam a interpretação de Bohm, são sumarizados nos pontos que se seguem:

1. A função de onda deve "desaparecer" depois do processo de medição, e este processo parece profundamente artificial no modelo de Bohm.

Resposta: A teoria de von Neumann da medição quântica combinada com a interpretação de Bohm explica como a função de onda pode "desaparecer", a despeito do fato que não há um "desaparecimento" verdadeiro.

2. O artificialismo teórico escolhe variáveis privilegiadas: enquanto a mecânica quântica ortodoxa admite todas as variáveis do espaço de Hilbert, que são tratadas sempre de forma equivalente (muito parecido com as bases compostas de seus autovetores), a interpretação de Bohm requer que algumas variáveis tenham um conjunto de "privilégios", tratadas classicamente – principalmente a posição. Não existe razão experimental para pensar que algumas variáveis são fundamentalmente diferentes de outras.

Reposta: Na física clássica, a posição é mais fundamental que outras variáveis. Portanto, não devia ser estranho que isto pudesse também ser verdadeiro na mecânica quântica.

3. O modelo Bohmiano é verdadeiramente não-local: esta não-localidade é passível de violar a invariância de Lorentz - contradições com relatividade especial já eram esperadas. Este fato cria uma tarefa profundamente não trivial: reconciliar os atuais modelos da física de partículas, tais como teoria quântica de campo ou teoria das cordas, com alguns testes experimentais muito acurados da relatividade especial, sem algumas explicações adicionais. Por outro lado, outras interpretações da mecânica quântica – tais como histórias consistentes ou interpretação de muitos mundos permite-nos explicar o teste experimental do entrelaçamento quântico sem qualquer utilização de não localidade.

Resposta: A teoria das cordas sugere uma teoria de campo quântico não comunicante, a qual também introduz não-localidades e violação da invariância de Lorentz. Portanto, na física moderna, não localidade e violação da invariância de Lorentz não são tratados como patologias, mas, ao invés disto, possibilidades interessantes. Além disto, em algumas versões da interpretação de Bohm, a não-localidade do potencial quântico é relativisticamente invariante na mesma medida que a função de onda é relativisticamente invariante, o que conduz a versões da interpretação de Bohm que respeitem a covariância de Lorentz.

4. A interpretação Bohmiana tem problemas sutis para incorporar o spin e outros conceitos da física quântica: os autovalores do spin são discretos, e além disto contradiz a invariância rotacional, a menos que uma interpretação probabilística seja aceita.

Resposta: Há variantes da interpretação de Bohm na qual este problema não aparece.

5. A interpretação Bohmiana também parece incompatível com as modernas visões a respeito do entrelaçamento que permite calcular a "barreira" entre o "micro-mundo quântico" e o "macro-mundo clássico"; de acordo com o entrelaçamento, as variáveis que exibem comportamento clássico são determinadas dinamicamente, não por uma suposição.

Resposta: Quando a interpretação de Bohm é tratada juntamente com a teoria de von Neumann da medição quântica, nenhuma incompatibilidade com as visões a respeito do entrelaçamento permanecem. Pelo contrário, a interpretação de Bohm deve ser vista como um complemento da teoria do entrelaçamento, porque ela provê respostas para questões que o entrelaçamento por si só não pode responder: Qual o motivo que leva o sistema a ser conduzido a um simples e definido valor da variável observada?

6. Interpretação de Bohm não leva a novas predições mesuráveis, então isto não é realmente uma teoria científica.

Resposta: No domínio nos quais a interpretação convencional da mecânica quântica não é ambígua, as predições da interpretação de Bohm são idênticas àquelas da interpretação convencional. Porém, no domínio no qual a interpretação convencional é ambígua, tais como a questão do tempo-observador e posição-observador em mecânica quântica relativística, a interpretação de Bohm conduz a predições mensuráveis novas e não ambíguas.

História

A teoria de De Broglie–Bohm tem uma história de diferentes formulações e nomes. Nesta seção, cada estágio recebe um nome e uma referência principal.

Teoria das ondas-piloto

Louis de Broglie apresentou sua teoria das ondas-piloto na Conferência de Solvay de 1927,^[9] após uma estreita colaboração com Schrödinger, que desenvolveu sua equação de onda para a teoria de De Broglie. No final da apresentação, Wolfgang Pauli salientou que ela não era compatível com uma técnica semiclássica que Fermi havia adotado anteriormente no caso de espalhamento inelástico. Ao contrário de uma lenda popular, De Broglie realmente deu a refutação correta de que a técnica em particular não poderia ser generalizada para o propósito de Pauli, embora o público pudesse ter se perdido nos detalhes técnicos e a atitude branda de de Broglie deixou a impressão de que a objeção de Pauli era válida. Ele acabou sendo persuadido a abandonar essa teoria, no entanto, porque estava "desencorajado pelas críticas que [ela] despertou".^[10] A teoria de de Broglie já se aplica a múltiplas partículas sem spin, mas carece de uma teoria adequada de medição, pois ninguém entendia a decoerência quântica na época. Uma análise da apresentação de de Broglie é apresentada em Bacciagaluppi et al.^[11][12] Além disso, em 1932, John von Neumann publicou um artigo,^[13] que foi amplamente (e erroneamente, como mostra Jeffrey Bub^[14]) acreditado para provar que todas as teorias de variáveis ocultas são impossíveis. Isso selou o destino da teoria de de Broglie pelas próximas duas décadas.

Em 1926, Erwin Madelung havia desenvolvido uma versão hidrodinâmica da equação de equação de Schrödinger, que é incorretamente considerada como base para a derivação da corrente de densidade da teoria de Broglie-Bohm.^[15] As equações de Madelung, sendo equações de Euler (fluidos) quânticas, diferem filosoficamente da mecânica de Broglie-Bohm^[16] e são a base da interpretação estocástica da mecânica quântica.

Peter R. Holland apontou que, no início de 1927, Einstein havia enviado uma pré-impressão com uma proposta semelhante, mas, não convencido, a havia retirado antes da publicação.^[17] De acordo com Holland, o fracasso em apreciar os pontos-chave da teoria de de Broglie-Bohm levou à confusão, o ponto-chave sendo "que as trajetórias de um sistema quântico de muitos corpos estão correlacionadas não porque as partículas exercem uma força direta umas sobre as outras (à Coulomb), mas porque todos são acionados por uma entidade - matematicamente descrita pela função de onda ou funções dela - que está além delas".^[18] Essa entidade é o potencial quântico.

Depois de publicar um livro popular sobre Mecânica Quântica, que aderiu inteiramente à ortodoxia de Copenhague, Bohm foi persuadido por Einstein a dar uma olhada crítica no teorema de von Neumann. O resultado foi 'A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of "Hidden Variables" I and II' [Bohm 1952]. Foi uma origem independente da teoria das ondas piloto e a estendeu para incorporar uma teoria consistente de medição e para abordar uma crítica a Pauli à qual de Broglie não respondeu adequadamente; é assumida como sendo determinística (embora Bohm tenha sugerido nos artigos originais que deveria haver perturbações a isso, da maneira como o movimento browniano perturba a mecânica newtoniana). Esse estágio é conhecido como a teoria de Broglie–Bohm no trabalho de Bell [Bell 1987] e é a base para 'The Quantum Theory of Motion' [Holland 1993].

Este estágio se aplica a múltiplas partículas e é determinístico.

A teoria de Broglie-Bohm é um exemplo de teoria das variáveis ocultas. Bohm originalmente esperava que variáveis ocultas pudessem fornecer uma descrição local, causal e objetiva que resolvesse ou eliminasse muitos dos paradoxos da mecânica quântica, como o gato de Schrödinger, o problema de medição e o colapso da função de onda. No entanto, o teorema de Bell complica essa esperança, pois demonstra que não pode haver uma teoria de variáveis ocultas local que seja compatível com as previsões da mecânica quântica. A interpretação bohmiana é causal, mas não local.

O artigo de Bohm foi amplamente ignorado ou criticado por outros físicos. Albert Einstein, que sugeriu que Bohm buscasse uma alternativa realista à abordagem de Copenhague predominante, não considerou a interpretação de Bohm uma resposta satisfatória à questão quântica da não-localidade, chamando-a de "muito barata",^[19] enquanto Werner Heisenberg considerou-a uma "'superestrutura ideológica' supérflua".^[20] Wolfgang Pauli, que não foi convencido por De Broglie em 1927, concedeu a Bohm o seguinte:

Acabei de receber sua longa carta de 20 de novembro e também estudei mais detalhadamente os detalhes de seu trabalho. Não vejo mais a possibilidade de qualquer contradição lógica, desde que seus resultados estejam completamente de acordo com os da mecânica habitual das ondas e desde que não sejam dados meios para medir os valores de seus parâmetros ocultos, tanto no aparelho de medição quanto no sistema observado. No que diz respeito ao assunto, suas 'previsões mecânicas de ondas extras' ainda são um cheque, que não pode ser descontado.^[21]

Posteriormente, ele descreveu a teoria de Bohm como "metafísica artificial".^[22]

De acordo com o físico Max Dresden, quando a teoria de Bohm foi apresentada no Instituto de Estudos Avançados de Princeton, muitas das objeções eram ad hominem, concentrando-se na simpatia de Bohm com os comunistas, como exemplificado por sua recusa em dar testemunho ao Comitê de Atividades Não-Americanas da Câmara.^[23]

Em 1979, Chris Philippidis, Chris Dewdney e Basil Hiley foram os primeiros a realizar cálculos numéricos com base no potencial quântico para deduzir conjuntos de trajetórias de partículas.^[24][25] Seu trabalho renovou os interesses dos físicos na interpretação de Bohm da física quântica.^[26]

Eventualmente, John Bell começou a defender a teoria. Em "Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics" [Bell 1987], vários dos trabalhos referem-se a teorias de variáveis ocultas (que incluem Bohm).

As trajetórias do modelo de Bohm que resultariam em arranjos experimentais específicos foram denominadas "surreais" por alguns.^[27][28] Ainda em 2016, o físico matemático Sheldon Goldstein disse sobre a teoria de Bohm: "Houve um tempo em que você nem podia falar sobre isso porque era herético. Provavelmente ainda é o beijo da morte para uma carreira de física estar realmente trabalhando em Bohm, mas talvez isso esteja mudando."^[29]

Mecânica bohmiana

A mecânica bohmiana é a mesma teoria, mas com ênfase na noção de fluxo de corrente, que é determinada com base na hipótese de equilíbrio quântico de que a probabilidade segue a regra de Born. O termo "mecânica bohmiana" também é frequentemente usado para incluir a maioria das extensões posteriores à versão sem rotação do Bohm. Enquanto a teoria de Broglie-Bohm tem Lagrangianos e equações de Hamilton-Jacobi como foco e pano de fundo primário, com o ícone do potencial quântico, a mecânica bohmiana considera a equação de continuidade como primária e a equação norteadora como seu ícone. Elas são matematicamente equivalentes na medida em que a formulação de Hamilton-Jacobi se aplica, isto é, partículas sem spin. Os trabalhos de Dürr et al. popularizou o termo.

Toda a mecânica quântica não relativística pode ser totalmente explicada nessa teoria.

Interpretação causal e interpretação ontológica

Bohm desenvolveu suas ideias originais, chamando-as de Interpretação Causal. Mais tarde, ele sentiu que causal parecia muito determinístico e preferia chamar sua teoria de Interpretação Ontológica. A principal referência é "The Undivided Universe" [Bohm, Hiley 1993].

Esta etapa abrange o trabalho de Bohm e em colaboração com Jean-Pierre Vigier e Basil Hiley. Bohm está claro que essa teoria é não determinística (o trabalho com Hiley inclui uma teoria estocástica). Como tal, essa teoria não é, estritamente falando, uma formulação da teoria de Broglie-Bohm. No entanto, merece menção aqui, porque o termo "Interpretação de Bohm" é ambíguo entre essa teoria e a teoria de de Broglie-Bohm.

Uma análise aprofundada das possíveis interpretações do modelo de Bohm de 1952 foi feita em 1996 pelo filósofo da ciência Arthur Fine.^[30]

Análogos quânticos hidrodinâmicos

Ver artigo principal: Análogos quânticos hidrodinâmicos

Experimentos pioneiros em análogos hidrodinâmicos da mecânica quântica, começando com o trabalho de Couder e Fort (2006)^[31][32], alegam mostrar que as ondas piloto clássicas macroscópicas podem exibir características anteriormente consideradas restritas ao domínio quântico. Os análogos hidrodinâmicos das ondas piloto teriam sido capazes de duplicar o experimento de dupla fenda, tunelamento, órbitas quantizadas e vários outros fenômenos quânticos que levaram a um ressurgimento do interesse pelas teorias das ondas piloto.^[33][34][35] No entanto, esse experimento não teve esse resultado replicado por três equipes em 2015 e foi questionado.^[36] Coulder e Fort observam em seu artigo de 2006 que as ondas-piloto são sistemas dissipativos não-lineares sustentados por forças externas. Um sistema dissipativo é caracterizado pelo aparecimento espontâneo de quebra de simetria (anisotropia) e pela formação de dinâmicas complexas, às vezes caóticas ou emergentes, onde os campos em interação podem exibir correlações de longo alcance. A eletrodinâmica estocástica (SED) é uma extensão da interpretação de Broglie – Bohm da mecânica quântica, com o campo de ponto zero eletromagnético (ZPF) desempenhando um papel central como a onda-piloto guia. As abordagens modernas da SED, como as propostas pelo grupo em torno do falecido Gerhard Grössing, entre outros, consideram os efeitos quânticos de ondas e partículas como sistemas emergentes bem coordenados. Esses sistemas emergentes são o resultado de interações subquânticas especuladas e calculadas com o campo do ponto zero.^[37][38][39]

Uma comparação de Bush (2015)^[40] entre o sistema de gotículas ambulantes, a teoria das ondas piloto de solução dupla de de Broglie^[41][42] e sua extensão ao SED^[43][44][45]

	Ambulantes hidrodinâmicos	de Broglie	Onda piloto da SED
Condução	vibração de banho	relógio interno	flutuações de vácuo
Espectro	monocromático	monocromático	amplo
Disparo	saltitante	zitterbewegung	zitterbewegung
Freqüência de disparo	${\displaystyle \omega _{F}}$	${\displaystyle \omega _{c}=mc^{2}/\hbar }$	${\displaystyle \omega _{c}=mc^{2}/\hbar }$
Energética	GPE ${\displaystyle \leftrightarrow }$ onda	${\displaystyle mc^{2}\leftrightarrow \hbar \omega }$	${\displaystyle mc^{2}\leftrightarrow }$ EM
Ressonância	onda de gotículas	harmonia de fases	não especificado
Dispersão ${\displaystyle \omega (k)}$	${\displaystyle \omega _{F}^{2}\approx \sigma k^{3}/\rho }$	${\displaystyle \omega ^{2}\approx \omega _{c}^{2}+c^{2}k^{2}}$	${\displaystyle \omega =ck}$
${\displaystyle \lambda }$ Carreador	${\displaystyle \lambda _{F}}$	${\displaystyle \lambda _{dB}}$	${\displaystyle \lambda _{c}}$
${\displaystyle \lambda }$ Estatístico	${\displaystyle \lambda _{F}}$	${\displaystyle \lambda _{dB}}$	${\displaystyle \lambda _{dB}}$

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A Interpretação de muitos mundos (ou IMM) é uma interpretação da mecânica quântica que propõe a existência de múltiplos "universos paralelos". A IMM foi formulada inicialmente por Hugh Everett para a explicação de alguns processos não determinísticos (tais como medição) na mecânica quântica.

Embora varias versões de IMM tenham sido propostas desde o trabalho original de Everett, todas compartilham duas ideias-chave: a primeira delas é a existência de uma função estado para todo universo a qual obedece à equação de Schrödinger para todo tempo e para a qual não há processo de colapso da onda. A segunda ideia é que este estado universal é uma sobreposição quântica de vários, possivelmente infinitos, estados de idênticos universos paralelos não comunicantes.

As ideias da IMM originaram-se na tese de Ph. D. de Hugh Everett na Universidade de Princeton, mas a frase “muitos mundos” é devida a Bryce DeWitt, que posteriormente desenvolveu algumas das ideias presentes no trabalho original de Everett. A formulação de DeWitt tornou-se tão popular que muitos confundem-na com o trabalho original de Everett.

IMM é uma das muitas hipóteses multiverso na física e na filosofia.

• 10Ligações externas

Muitos mundos e o problema da interpretação

Como outras interpretações da mecânica quântica, a interpretação de muitos mundos é motivada pelo comportamento que pode ser ilustrado pela experiência da dupla fenda. Quando partículas de luz (ou algo semelhante) são conduzidos através de uma dupla-fenda, uma explicação baseada no comportamento de onda para luz é necessária para identificar onde as partículas deverão ser observadas. Já quando as partículas são observadas, elas se mostram como partículas e não como ondas não localizadas. Pela interpretação de Copenhague da mecânica quântica é proposto um processo de "colapso" do comportamento de onda para o de partícula para explicar o fenômeno observado.

Na época em que John von Neumann escreveu seu famoso tratado Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik em 1932, o fenômeno do "colapso da função de onda" era acomodado em dentro da formulação matemática da mecânica quântica postulando-se que havia dois processos de transformação da função de onda:

1. A mudança descontinua e de natureza aleatória que é ocasionada pelo processo de observação.
2. A evolução no tempo de um sistema isolado que obedece a equação de Schrödinger, que é determinista.

O fenômeno do colapso da função de onda por (1) proposto pela interpretação Copenhague foi amplamente considerada como artificial e ad-hoc, e consequentemente uma interpretação alternativa na qual o comportamento da medição pudesse ser entendido a partir de um principio físico mais fundamental era amplamente desejável.

A tese de doutorado de Everett tinha a intenção de prover uma interpretação alternativa. Everett propôs que para um sistema composto (por exemplo, aquele formado por uma partícula que interage com o aparato de medição), não se pode associar um estado bem definido a um determinado subsistema. Isto levou a Everett sugerir a noção de estado relativo de um subsistema em relação a outro.

O formalismo de Everett para compreender o processo do colapso da função de onda como um resultado da observação é matematicamente equivalente a superposição de funções de onda. Everett deixou a pesquisa física logo apos obter seu Ph.D, tendo como resultado que suas ideias foram desenvolvidas por outros pesquisadores.

O princípio da simultaneidade dimensional, estipula que: dois ou mais objetos físicos, realidades, percepções e objetos não-físicas, podem coexistir no mesmo espaço-tempo. Este princípio tem uma correspondência com a teoria da interpretação de vários mundos, A IMM e a teoria do multiverso de nível III, embora não tenha sido levantada por Hugh Everett, nem por Max Tegmark.

Visão geral

Na formulação de Everett, um aparato de medição M e um sistema objeto S formam um sistema composto, cada parte do qual antes da medição existem em estados bem definidos (mas tempo-dependentes). A medição é tida como causadora da interação de M e S. Apos S interagir com M, não é mais possível descrever ambos sistemas como estados independentes. De acordo com Everett, a única descrição possível de cada sistema são estados relativos: por exemplo o estado relativo de S dado o estado de M ou o estado relativo de M dado o estado de S. Na formulação de DeWitt, o estado de S após a medição é dado pela superposição quântica das historias alternativas de S.

Por exemplo, considere o menor sistema quântico verdadeiro possível S, como mostrado na ilustração. Este descreve por exemplo, o estado-spin de um elétron. Considerando um eixo especifico (digamos o eixo z) o pólo norte representando o spin "para cima" e o polo sul, spin "para baixo". Os estados de superposição do sistema descrito pela (a superfície da) esfera, chamada de esfera de Bloch. Para se executar uma medição em S, deve-se interagi-lo com um outro sistema similar a M.

Após esta interação, o sistema combinado é descrito por um estado que abrange um espaço de seis dimensões (o motivo para o número 6 é explicado no artigo sobre a esfera de Bloch). Este objeto de 6 dimensões pode também ser concebido a como uma superposição quântica de duas "histórias alternativas" do sistema original S, uma das quais "para cima" foi observada e a outra na qual o "para baixo" foi observado. Cada subsequente medição binária (que é uma interação com o sistema M) causa uma divisão similar na árvore da história. Portanto após três medições, o sistema pode se apresentar como a superposição quântica, o sistema pode ser representado inicialmente como uma superposição quântica de 8= 2 × 2 × 2 copias do sistema original S.

A terminologia aceita é de algum modo enganosa porque é incorreto considerar o universo esteja se dividindo um certo número de vez.

Estado relativo

O objetivo do formalismo do estado-relativo, como originalmente proposto Everett em 1957 na sua dissertação de doutorado, foi interpretar o efeito da observação externa englobada inteiramente no arcabouço desenvolvido por Dirac, Von Neumann e outros, descartando totalmente o mecanismo ad-hoc de colapso da função de onda. Desde trabalho original de Everett, tem surgido alguns formalismos similares na literatura. Um destes será discutido na próxima seção.

Do formalismo do estado-relativo, nos podemos obter a interpretação do estado-relativo por duas suposições. A primeira é que a função de onda não é só uma simples descrição do estado do objeto, mas que ela é realmente inteiramente equivalente ao objeto, esta exigência foi muito comum em outras interpretações. A segunda e que o observador não possua uma condição especial, ao contrario da interpretação de Copenhague a qual considera o colapso da função de onda como um tipo especial de evento que ocorre como resultado da observação.

A interpretação de muitos mundos é reconstruída por DeWitt a partir de um formalismo de estado (e interpretação). Everett refere-se ao sistema (tal como o observador) como sendo dividido por uma observação, cada divisão corresponde a um resultado possível de se obter pela observação. Estas divisões geram uma árvore de possibilidade como mostrada no gráfico abaixo. Subsequentemente DeWitt introduziu o termo "mundo" para descrever uma história completa da medição de um observador, a qual corresponde a um caminho iniciado na raiz daquela árvore. Note que "divisão" neste sentido, é dificilmente novo ou inédito na mecânica quântica. A ideia de um espaço de histórias completamente alternativas já foi usada pela teoria da probabilidade desde meados de 1930, por exemplo, para o modelo do movimento Browniano. A inovação no ponto de vista DeWitt's foi que as várias histórias completamente alternativas podem se sobrepor para formar um novo estado.

No contexto da interpretação de muitos mundos, a equação de Schrödinger influência todos os instantes e lugares. Uma observação ou medição de um objeto por um observador é modelada pela aplicação da equação de onda de Schrödinger a todo sistema englobando o observador e o objeto. Uma consequência é que cada observação pode ser tida como a causadora de divisão da função universal de onda na superposição quântica de dois ou mais ramos não comunicantes, ou "mundos". Desde muitos eventos semelhantes de observação estão constantemente acontecendo, há um enorme número de simultâneos estados de existência simultâneos.

Se um sistema é composto de dois ou mais subsistemas, o estado do sistema típico será uma superposição dos produtos dos estados dos subsistemas. Uma vez que os subsistemas interajam, seus estados não mais completamente independentes. Cada produto dos estados subsistema irão acabar envolvendo no decorrer do tempo o estada dos outros. Os subsistemas se tornaram entrelaçados e não será possível mais considerá-los como sendo independentes. O termo usado por Everett para este entrelaçamento de subsistemas foi estado relativo, desde que cada subsistema deve ser agora considerado relativamente aos outros subsistemas como o qual ele tenha interagido.

Propriedades comparativas e suporte experimental

Uma das características a se salientar da interpretação de muitos mundos é que o observador não requer de uma construção especial (tal como o colapso da função de onda) para ser explicada. Muitos físicos, por outro lado, não gostam da implicação de haver infinitos universos alternativos não observáveis.

Como desde 2002, não foram feitos experimentos práticos que para distinguir entre as interpretações de muitos mundos e Copenhague, e na ausência de dados amostrais, a escolha de uma delas é de caráter pessoal. Porem, uma das áreas de pesquisa e planejar experimentos os quais possam distinguir entre as várias interpretações da mecânica quântica, embora exista algum ceticismo se esta é mesmo uma questão importante a ser respondida.

Realmente, pode ser argumentado que há uma equivalência matemática entre Copenhague (quando é expressa, por exemplo, como um conjunto de algoritmos para manipulação densidade de estado) e muitos mundos (o qual da as mesmas respostas das de Copenhague usando uma visão matemática mais elaborada) o que parece mostrar que esta empreitada seja impossível. Porem, esta equivalência algorítmica não deve ser verdadeira em escala cosmológica. Foi proposto que em um mundo com infinitos universos alternativos, os universos que se colapsam existem por um tempo menor que os universos que se expandem, este fenômeno pode causar um diferença detectável probabilidade entre as interpretações de muitos mundos e Copenhague.

Na interpretação de Copenhague, a matemática da mecânica quântica permite prever a probabilidades para a ocorrência de vários eventos. Na interpretação de muitos mundos, todos estes eventos ocorrem simultaneamente. O que se obtém por estes cálculos de probabilidade? E porque nos devemos observar, em nossa história, que eventos com alta probabilidade parecem ocorrer com mais frequência?

Uma das respostas para esta questão é dizer que há medição probabilidade no espaço de todos universos, onde um possível universo é uma arvore completa do universo de ramificação. Isto é o que realmente este calculo produz. Então nos deveríamos esperar encontrar-nos mesmo em um universo com alta probabilidade do que em um de relativamente baixa probabilidade: mesmo que todas as saídas em uma experimento ocorram, elas não ocorrem de igual maneira.

A interpretação de muitos mundos não deve ser confundida com a interpretação com a muitas mentes a qual postula que é somente a mente do observador que se divide ao invés de todo universo.

Um exemplo simples

Considere-se formalmente o exemplo apresentado na introdução. Considere um par de partículas de spin 1/2, A e B, na qual nos unicamente consideraremos o spin observável (em particular sua mudança de posição). Como um sistema isolado, A partícula A é descrita por um Espaço de Hilbert de duas dimensões H_A; similarmente a partícula B é descrita por um Espaço de Hilbert H_B. O sistema composto é descrito pelo produto tensor:

${\displaystyle H_{\mathrm {A} }\otimes H_{\mathrm {B} }}$

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o qual é de dimensão 2 x 2. Se A e B não estão interagindo, o conjunto de tensores puros

${\displaystyle |\phi \rangle \otimes |\psi \rangle }$

é invariante no que se refere a evolução temporal; de fato, nos somente consideramos os observáveis do spin para os quais as partículas isoladas são invariantes, o tempo não terá efeito a prior na observação. Porém, apos a interação, o estado do sistema composto é um possível estado de entrelaçamento quântico, o qual não é um tensor puro.

O estado de entrelaçamento mais geral é uma soma

${\displaystyle \Phi =\sum _{\ell }|\phi _{\ell }\rangle \otimes |\psi _{\ell }\rangle }$

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Para este estado corresponde um operador linear H_B → H_A o qual aplica estados puros para estados puros.

${\displaystyle T_{\Phi }=\sum _{\ell }|\phi _{\ell }\rangle \otimes \langle \psi _{\ell }|.}$

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Esta aplicação (essencialmente numa normalização modular do estado) é o aplicação do estado relativo definido por Everett, como associado a um estado puro de B correspondente a estado relativo(puro) associado de A. Mais precisamente, há uma única decomposição polar de T_Φ tal que

${\displaystyle T_{\Phi }=US\quad }$

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e U é uma aplicação isométrica definido em algum subespaço de H_B. Veja também decomposição de Schmidt.

Note que a matriz de densidade do sistema composto é pura. Porém, é também possível considerar a matriz densidade reduzida descrevendo a partícula A isolada tomando o traço parcial sobre os estados da partícula B. A matriz de densidade reduzida, ao contrario da matriz original descreve um estado misto. Este exemplo em particular é baseado no paradoxo EPR.

O exemplo anterior pode ser generalizado facilmente para sistemas arbitrários A, B sem nenhuma restrição na dimensão de espaço de Hilbert correspondente. Em geral, o estado relativo é uma aplicação linear isométrica definida no subespaço de H_B para valores em H_A.

Traço Parcial e estado relativo

A transformação de um sistema quântico resultante do processo de medição, tal como na experiência de dupla fenda discutida acima, pode ser facilmente descrita matematicamente de uma forma que seja consistente a maioria dos formalismos matemáticos. Nos iremos apresentar uma destas descrições, também chamada de estado reduzido, baseada no conceito traço parcial, o qual pode ser processo pela interação, resume para um tipo de conhecimento formalismo muitos mundos. Isto então é um pequeno passo do formalismo de muitos mundos para a interpretação de muitos mundos.

Por definição, assumir-se-á que o sistema sempre é uma partícula tal como o elétron. A discussão do estado reduzido e muitos mundos não é diferente no caso que se nos considerarmos qualquer outro sistema físico, incluindo um "sistema observador". No que se segue, nos deveremos considerar não somente estados puros para o sistema, mas mais genericamente estados mistos.

Estes são certamente operadores lineares no espaço Hilbertiano H descrevendo o sistema quântico. Sem duvida, como vários cenários medição apontados, o conjunto de estados puros não relacionados com a medição. Matematicamente, a matriz de densidade são misturas estatísticas de estados puros. Operacionalmente um estado misto pode ser identificado como a agrupamento estatístico resultante de um especifico procedimento preparação laboratorial.

Estados coerentes como estados relativos

Suponha que tenhamos um agrupamento de partículas tal que o estado S dele é puro. Isto significa que haverá um vetor unitário ψ em H tal que S é o operador dado em notação bra-ket pela fórmula seguinte:

${\displaystyle S=|\psi \rangle \langle \psi |}$

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Agora consideremos um experimento para determinar se a partícula deste agrupamento tem uma propriedade particular: Por exemplo, a propriedade poderia ser a localização da partícula em alguma região A do espaço. O experimento pode ser preparado para se comportar seja como uma medição de um observador ou seja como um filtro. Como uma medição, determinará que a variável Q assume o valor 1 se a partícula se encontra em A e 0 no caso contrario. Como um filtro, ele deixará passar somente aquelas partículas que se encontram em A e impedindo a passagem das outras.

Matematicamente, uma propriedade é dada pela sua projeção autoadjunta E no espaço de Hilbert H: Aplicando o filtro para um pacote de partículas, algumas delas serão rejeitadas, e outras passam. Agora será possível mostrar que uma operação de filtro ocasiona o "colapso" do estado puro como no seguinte exemplo: prepara-se um novo estado composto dado pelo operador densidade

${\displaystyle S_{1}=|E\psi \rangle \langle \psi E|+|F\psi \rangle \langle \psi F|}$

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onde F = 1 - E.

Para ver isto, note-se que como um resultado da medição, o estado das partículas imediatamente após a medição é um eigevetor de Q, que é um dos dois estados puros...

${\displaystyle {\frac {1}{\|E\psi \|^{2}}}|E\psi \rangle \quad {\mbox{ or }}\quad {\frac {1}{\|F\psi \|^{2}}}|F\psi \rangle .}$

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com as respectivas probabilidades

${\displaystyle \|E\psi \|^{2}\quad {\mbox{ or }}\quad \|F\psi \|^{2}.}$

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A forma matemática da de apresentação deste estado combinado é pela utilização de combinação convexa de estados puros:

${\displaystyle \|E\psi \|^{2}\times {\frac {1}{\|E\psi \|^{2}}}|E\psi \rangle \langle E\psi |+\|F\psi \|^{2}\times {\frac {1}{\|F\psi \|^{2}}}|F\psi \rangle \langle F\psi |,}$

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na qual o operados S₁ acima.

Comentário. O uso da palavra colapso neste contexto é de alguma maneira diferente daquela usada na explicação da interpretação de Copenhague. Nesta discussão não se irá referir a um colapso ou transformação da onda em nenhuma parte, mas particularmente da transformação de um estado puro em um estado misto.

As considerações precedente são completamente padrões da maioria dos formalismos da mecânica quântica. Agora considere um sistema "ramificado" o qual seguindo espaço de Hilbert é

${\displaystyle {\tilde {H}}=H\otimes H_{2}\cong H\oplus H}$

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onde H₂ é uma espaço de Hilbert bi-dimensional com vetores de base ${\displaystyle |0\rangle }$ and ${\displaystyle |1\rangle }$. A ramificação no espaço pode ser entendida como um sistema composto constituído do sistema original (do qual agora é um subsistema) juntamente com um sistema não-interativo subordinado qbit simples. No sistema ramificado, considere o estado entrelaçado

${\displaystyle \phi =|E\psi \rangle \otimes |0\rangle +|F\psi \rangle \otimes |1\rangle \in {\tilde {H}}}$

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Nos podemos expressar este estado na matriz de densidade formatado como ${\displaystyle |\phi \rangle \langle \phi |}$. Multiplicando resulta em:

${\displaystyle {\bigg (}|E\psi \rangle \langle E\psi |\ \otimes \ |0\rangle \langle 0|{\bigg )}\,+\,{\bigg (}|E\psi \rangle \langle F\psi |\ \otimes \ |0\rangle \langle 1|{\bigg )}\,+\,{\bigg (}|F\psi \rangle \langle E\psi |\ \otimes \ |1\rangle \langle 0|{\bigg )}\,+\,{\bigg (}|F\psi \rangle \langle F\psi |\ \otimes \ |1\rangle \langle 1|{\bigg )}}$

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O traço parcial do estado misto foi obtido pela somatória dos coeficientes do operador de ${\displaystyle |0\rangle \langle 0|}$ and ${\displaystyle |1\rangle \langle 1|}$ na expressão acima. Isto resulta em estado misto em H. De fato, este estado misto é idêntico ao estado composto "pos filtragem" S₁ acima.

Sumarizando, nos temos descrição matemática do efeito do filtro para a partícula no estado puro ψ no seguinte caminho:

• O estado original é ampliado com sistema qubit subordinado.

• O estado puro do sistema original é substituído por um estado de entrelaçamento puro de um sistema subordinado e

• O estado pós-filtro do sistema é o traço parcial do estado entrelaçado para o estado subordinado.

Ramificações múltiplas

No curso do tempo de vida do sistema esperar-se-ia que muitos eventos de filtragem ocorressem. A cada um destes eventos, uma ramificação ocorre. De forma que isto seja consistente com estrutura de ramificação como descrito na ilustração acima, nos deveremos mostrar que se um evento de filtragem ocorre em um dos caminhos do nodo raiz da árvore, então teremos que assumir que ele ocorrera em todas as ramificações. Isto mostra que a árvore é consideravelmente simétrica, que é para cada nodo n da árvore, a forma da árvore não muda pelo intercâmbio da subárvores imediatamente abaixo deste nodo n.

De forma a mostrar esta propriedade de uniformidade de ramificação, note que alguns cálculos resultam no mesmo se o estado original de S é composto. De fato, o estado pós-filtragem será o operador de densidade:

${\displaystyle S_{1}=ESE+FSF\quad }$

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O estado S₁ é o caminho parcial de

${\displaystyle {\bigg (}ESE\,\otimes \,|0\rangle \langle 0|{\bigg )}+{\bigg (}ESF\,\otimes \,|0\rangle \langle 1|{\bigg )}+{\bigg (}FSE\,\otimes \,|1\rangle \langle 0|{\bigg )}+{\bigg (}FSF\,\otimes \,|1\rangle \langle 1|{\bigg )}.}$

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Isto significa que cada medição subsequente (ou ramificação) ao longo de um destes caminhos da raiz da árvore para um nodo folha corresponde a uma ramificação homologa ao longo de cada caminho. Isto garante a simetria da árvore de muitos mundos em relação a rotação os nodos filhos de cada nodo.

Operadores quânticos gerais

Nas duas seções anteriores, tem-se a representação da operação de medição em sistemas quânticos em termos de estados relativos. De fato existe uma classe mais ampla de operadores que devem ser considerados: estes são conhecidos como operadores quânticos. Considerado as operações com operadores densidade no sistema de espaço Hilbertiano H, isto se dará da seguinte forma:

${\displaystyle \gamma (S)=\sum _{i\in I}F_{i}SF_{i}^{*}}$

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onde I é um conjunto finito ou indexado infinitamente comutável. Os operadores F_i são chamados de operadores de Kraus.

'Teorema. Dado

${\displaystyle \Phi (S)=\sum _{i,j}F_{i}SF_{j}^{*}\,\otimes \,|i\rangle \langle j|}$

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Então

${\displaystyle \gamma (S)=\operatorname {Tr} _{H}(\Phi (S)).}$

Além disso, o mapeamento V definido por

${\displaystyle V|\psi \rangle =\sum _{\ell }|F_{\ell }\psi \rangle \,\otimes \,|\ell \rangle }$

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é tal como

${\displaystyle \Phi (S)=VSV^{*}\quad }$

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Se γ é uma operador quântico que preserva o caminho, então V é um mapa linear isométrico

${\displaystyle V:H\rightarrow H\otimes \ell ^{2}(I)\cong H\oplus H\oplus \cdots \oplus H}$

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Onde a soma direta de Hilbert e feita sobre todas as copias de H indexadas pelos elementos de I. Podemos considerar tais mapas Φ como embutidos. Em particular:

Corolário. Qualquer operador quântico que preserve o caminho é a composição de uma isometria embutida e um caminho parcial.

Isto sugere que o formalismo de muitos mundos pode ser considerado para uma classe mais geral de transformações da mesma forma que foi feita para uma simples medição.

Ramificação

Em geral, pode-se mostrar a propriedade da ramificação uniforme da árvore como se segue: Se

${\displaystyle \gamma (S)=\operatorname {Tr} _{H}VSV^{*}\quad }$

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e

${\displaystyle \delta (S)=\operatorname {Tr} _{H}WSW^{*},\quad }$

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onde

${\displaystyle V|\psi \rangle =\sum _{\ell \in I}|F_{\ell }\psi \rangle \,\otimes \,|\ell \rangle }$

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e

${\displaystyle W|\phi \rangle =\sum _{i\in J}|G_{i}\phi \rangle \,\otimes \,|i\rangle }$

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então um calculo fácil mostra

${\displaystyle \delta \circ \gamma (S)=\operatorname {Tr} _{H}{\bigg \{}{\bigg (}W\otimes \operatorname {id} _{\ell ^{2}(I)}\,\circ \,V{\bigg )}S{\bigg (}W\otimes \operatorname {id} _{\ell ^{2}(I)}\,\circ \,V{\bigg )}^{*}{\bigg \}}.}$

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Isto também demonstra que entre as medições propriamente ditas dos operadores quânticos (isto é, não-unitária), podemos interpolar uma arbitraria evolução unitária.